Α΄ Γυμνασίου · Γεωμετρία · Κεφάλαιο 1 · Ενότητα 5

Θέσεις ευθειών και αποστάσεις

Ευθείες που τέμνονται ή είναι παράλληλες, απόσταση σημείου από ευθεία, απόσταση παραλλήλων.

Σχολικό βιβλίο Μαθηματικών Α΄ Γυμνασίου: §Β1.9–Β1.10

Θεωρία

Παράλληλες και τεμνόμενες ευθείες

Δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου λέγονται παράλληλες αν δεν έχουν κοινό σημείο, όσο κι αν προεκταθούν. Γράφουμε $\displaystyle \delta_1 // \delta_2$ . Δύο τμήματα πάνω σε παράλληλες ευθείες λέγονται κι αυτά παράλληλα.

Δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου που έχουν ένα κοινό σημείο λέγονται τεμνόμενες, και το κοινό τους σημείο σημείο τομής.

Δύο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή θα είναι παράλληλες ή θα τέμνονται. Στο σχήμα, $\displaystyle \delta_1 // \delta_2$ , ενώ οι $\displaystyle \varepsilon_1$ και $\displaystyle \varepsilon_2$ τέμνονται μεταξύ τους και τέμνουν και τις $\displaystyle \delta_1$ , $\displaystyle \delta_2$ .

Μία μόνο παράλληλη

Δεχόμαστε ότι ισχύει η πρόταση: από ένα σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μία και μοναδική ευθεία παράλληλη προς αυτήν.

Είναι το περίφημο 5ο αίτημα του Ευκλείδη, από τα «Στοιχεία» του (περίπου $\displaystyle 300$ π.Χ.), στη σημερινή του μορφή. Τον 19ο αιώνα ο Λομπατσέφσκι και ο Ρίμαν έφτιαξαν γεωμετρίες όπου δεν ισχύει: σε αυτές, από ένα σημείο περνούν περισσότερες παράλληλες ή καμία. Είναι οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες, που χρησιμοποίησε αργότερα ο Αϊνστάιν.

Κάθετες στην ίδια ευθεία

Δύο ευθείες του επιπέδου κάθετες σε μια ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Έτσι σχεδιάζουμε την παράλληλη από ένα σημείο $\displaystyle \mathrm{A}$ προς την ευθεία $\displaystyle \varepsilon$ : φέρνουμε με τον γνώμονα την κάθετη $\displaystyle \mathrm{AB}$ προς την $\displaystyle \varepsilon$ , και μετά την κάθετη $\displaystyle \varepsilon_1$ στην $\displaystyle \mathrm{AB}$ στο σημείο $\displaystyle \mathrm{A}$ . Η $\displaystyle \varepsilon_1$ είναι παράλληλη προς την $\displaystyle \varepsilon$ .

Απόσταση σημείου από ευθεία

Απόσταση του σημείου $\displaystyle \mathrm{A}$ από την ευθεία $\displaystyle \varepsilon$ ονομάζεται το μήκος του κάθετου ευθύγραμμου τμήματος $\displaystyle \mathrm{AA}_0$ από το $\displaystyle \mathrm{A}$ προς την $\displaystyle \varepsilon$ . Το $\displaystyle \mathrm{A}_0$ λέγεται ίχνος της κάθετης.

Από όλα τα τμήματα που ενώνουν το $\displaystyle \mathrm{A}$ με σημεία της $\displaystyle \varepsilon$ , το κάθετο είναι το πιο σύντομο. Τα πλάγια τμήματα μεγαλώνουν όσο απομακρυνόμαστε από το ίχνος.

Απόσταση παραλλήλων

Απόσταση δύο παράλληλων ευθειών λέγεται το μήκος οποιουδήποτε ευθύγραμμου τμήματος που είναι κάθετο και στις δύο και έχει τα άκρα του πάνω τους.

Όλα αυτά τα τμήματα είναι ίσα: η απόσταση των παραλλήλων είναι σταθερή. Δηλαδή όλα τα σημεία της μιας ισαπέχουν από την άλλη, όπως οι ράγες του τρένου.

Λυμένο παράδειγμα

Ποιες από τις ευθείες του σχήματος είναι παράλληλες και ποιες τεμνόμενες;

Λύση

Παράλληλες είναι οι $\displaystyle \delta_1$ και $\displaystyle \delta_2$ : $\displaystyle \delta_1 // \delta_2$ .
Τεμνόμενες: οι $\displaystyle \varepsilon_1$ και $\displaystyle \varepsilon_2$ στο $\displaystyle \mathrm{A}$ , η $\displaystyle \varepsilon_1$ με τις $\displaystyle \delta_1$ , $\displaystyle \delta_2$ στα $\displaystyle \Delta$ , $\displaystyle \mathrm{E}$ , και η $\displaystyle \varepsilon_2$ με τις $\displaystyle \delta_1$ , $\displaystyle \delta_2$ στα $\displaystyle \mathrm{B}$ , $\displaystyle \Gamma$ .