Α΄ Γυμνασίου · Γεωμετρία · Κεφάλαιο 1 · Ενότητα 2

Μετράμε, προσθέτουμε και αφαιρούμε τμήματα

Μονάδες μήκους, απόσταση δύο σημείων, μέσο τμήματος, άθροισμα και διαφορά τμημάτων, περίμετρος.

Σχολικό βιβλίο Μαθηματικών Α΄ Γυμνασίου: §Β1.3–Β1.4

Θεωρία

Μονάδες μήκους

Κάθε σύγκριση ενός μεγέθους με την αντίστοιχη μονάδα λέγεται μέτρηση. Μονάδα μήκους είναι το μέτρο ( $\displaystyle \text{m}$ ), με τις υποδιαιρέσεις του:

$\displaystyle 1\,\text{m} = 10\,\text{dm} = 100\,\text{cm} = 1.000\,\text{mm}$ και $\displaystyle 1\,\text{km} = 1.000\,\text{m}$

Μετράμε με το υποδεκάμετρο (το ένα δέκατο του μέτρου), τη μετροταινία, το παχύμετρο. Σε άλλες χώρες χρησιμοποιούνται και άλλες μονάδες: $\displaystyle 1$ ίντσα $\displaystyle = 2{,}54\,\text{cm}$ , $\displaystyle 1$ πόδι $\displaystyle = 30{,}48\,\text{cm}$ , $\displaystyle 1$ μίλι $\displaystyle = 1.609\,\text{m}$ .

Σύγκριση και απόσταση

Δύο ευθύγραμμα τμήματα τα συγκρίνουμε μετρώντας τα με τον χάρακα, ή μεταφέροντας το ένα πάνω στο άλλο με τον διαβήτη. Γράφουμε $\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{B}$ $\displaystyle <$ $\displaystyle {\Gamma}{\Delta}$ , $\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{B}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {\Gamma}{\Delta}$ ή $\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{B}$ $\displaystyle >$ $\displaystyle {\Gamma}{\Delta}$ .

Απόσταση δύο σημείων $\displaystyle \mathrm{A}$ και $\displaystyle \mathrm{B}$ λέγεται το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος $\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{B}$ που τα ενώνει. Γράφουμε απλά $\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{B}$ $\displaystyle = 3{,}8\,\text{cm}$ .

Μέσο ευθύγραμμου τμήματος

Μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος $\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{B}$ ονομάζουμε το σημείο $\displaystyle \mathrm{M}$ του τμήματος που απέχει εξίσου από τα άκρα του: $\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{M}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \mathrm{M}\mathrm{B}$ .

Κάθε ευθύγραμμο τμήμα έχει πάντα ένα μέσο, και μόνο ένα. Αν $\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{B}$ $\displaystyle = 3{,}8\,\text{cm}$ , τότε $\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{M}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \mathrm{M}\mathrm{B}$ $\displaystyle = 3{,}8 : 2 = 1{,}9\,\text{cm}$ .

Άθροισμα και διαφορά τμημάτων

Σε μια ευθεία $\displaystyle \varepsilon$ έχουμε με τη σειρά τα σημεία $\displaystyle \mathrm{A}$ , $\displaystyle \mathrm{B}$ , $\displaystyle {\Gamma}$ .

Το τμήμα $\displaystyle \mathrm{A}{\Gamma}$ λέγεται άθροισμα των $\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{B}$ και $\displaystyle \mathrm{B}{\Gamma}$ : $\displaystyle \mathrm{A}{\Gamma}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{B}$ $\displaystyle +$ $\displaystyle \mathrm{B}{\Gamma}$ .

Το τμήμα $\displaystyle \mathrm{B}{\Gamma}$ λέγεται διαφορά των $\displaystyle \mathrm{A}{\Gamma}$ και $\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{B}$ : $\displaystyle \mathrm{B}{\Gamma}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \mathrm{A}{\Gamma}$ $\displaystyle -$ $\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{B}$ .

Τεθλασμένη γραμμή και περίμετρος

Μια τεθλασμένη γραμμή έχει μήκος το άθροισμα των μηκών των τμημάτων της.

Το ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{B}$ είναι μικρότερο από κάθε τεθλασμένη γραμμή με τα ίδια άκρα $\displaystyle \mathrm{A}$ και $\displaystyle \mathrm{B}$ : ο ευθύς δρόμος είναι ο πιο σύντομος. Γι' αυτό το αεροπλάνο από την Αθήνα στη Σάμο διανύει μικρότερη απόσταση από το πλοίο.

Το άθροισμα των πλευρών ενός ευθύγραμμου σχήματος λέγεται περίμετρος του σχήματος.

Λυμένο παράδειγμα

Να βρεθεί το μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος $\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{B}$ με μήκος $\displaystyle 3{,}8\,\text{cm}$ .

Λύση

Το μέσο $\displaystyle \mathrm{M}$ απέχει εξίσου από τα άκρα, άρα $\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{M}$ $\displaystyle = 3{,}8 : 2 = 1{,}9\,\text{cm}$ .
Πάνω στο $\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{B}$ παίρνουμε με τον χάρακα το σημείο $\displaystyle \mathrm{M}$ με $\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{M}$ $\displaystyle = 1{,}9\,\text{cm}$ . Τότε και $\displaystyle \mathrm{M}\mathrm{B}$ $\displaystyle = 1{,}9\,\text{cm}$ .