Α΄ Γυμνασίου · Γεωμετρία · Κεφάλαιο 1 · Ενότητα 1

Σημείο, ευθεία, γωνία, σχήματα

Ευθύγραμμο τμήμα, ευθεία, ημιευθεία, επίπεδο, γωνία, τεθλασμένη γραμμή και ευθύγραμμα σχήματα.

Σχολικό βιβλίο Μαθηματικών Α΄ Γυμνασίου: §Β1.1–Β1.2

Θεωρία

Σημείο και ευθύγραμμο τμήμα

Η άκρη του μολυβιού μας, οι κορυφές ενός σχήματος, η μύτη μιας βελόνας μάς δίνουν την έννοια του σημείου. Τα σημεία τα ονομάζουμε με κεφαλαία γράμματα: $\displaystyle \mathrm{A}$ , $\displaystyle \mathrm{B}$ , $\displaystyle {\Gamma}$ …

Αν ενώσουμε δύο σημεία $\displaystyle \mathrm{A}$ και $\displaystyle \mathrm{B}$ με τον χάρακα, σχηματίζεται το ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{B}$ . Τα σημεία $\displaystyle \mathrm{A}$ και $\displaystyle \mathrm{B}$ είναι τα άκρα του: το ευθύγραμμο τμήμα έχει αρχή και τέλος, όπως μια τεντωμένη κλωστή.

Ευθεία και ημιευθεία

Αν προεκτείνουμε απεριόριστα ένα ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{B}$ και προς τις δύο μεριές, το σχήμα που δεν έχει ούτε αρχή ούτε τέλος λέγεται ευθεία. Τη γράφουμε με ένα μικρό γράμμα, π.χ. $\displaystyle (\varepsilon)$ , ή με δύο, π.χ. $\displaystyle x'x$ .

Από ένα σημείο διέρχονται άπειρες ευθείες.

Από δύο σημεία διέρχεται μία μόνο ευθεία.

Αν το προεκτείνουμε πέρα από το ένα μόνο άκρο του, το σχήμα που έχει αρχή αλλά όχι τέλος λέγεται ημιευθεία. Τη γράφουμε με το κεφαλαίο γράμμα της αρχής της και ένα μικρό: $\displaystyle \mathrm{A}x$ , $\displaystyle \mathrm{B}y$ .

Ένα σημείο $\displaystyle \mathrm{O}$ της ευθείας $\displaystyle x'x$ ορίζει δύο ημιευθείες, τις $\displaystyle \mathrm{O}x$ και $\displaystyle \mathrm{O}x'$ , που λέγονται αντικείμενες. Η ευθεία των αριθμών με αρχή το $\displaystyle 0$ είναι μια ημιευθεία.

Επίπεδο και ημιεπίπεδο

Επίπεδο είναι μια επιφάνεια πάνω στην οποία εφαρμόζει παντού η ευθεία γραμμή, όπως η επιφάνεια ενός ήρεμου νερού. Ένα επίπεδο επεκτείνεται απεριόριστα, και το ονομάζουμε με ένα κεφαλαίο γράμμα, π.χ. $\displaystyle {\Pi}$ .

Από τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία διέρχεται ένα μόνο επίπεδο.

Από ένα ή δύο σημεία διέρχονται άπειρα επίπεδα.

Κάθε ευθεία ενός επιπέδου το χωρίζει σε δύο ημιεπίπεδα.

Γωνία

Δύο ημιευθείες $\displaystyle \mathrm{O}x$ και $\displaystyle \mathrm{O}y$ με κοινή αρχή το $\displaystyle \mathrm{O}$ χωρίζουν το επίπεδο σε δύο περιοχές. Κάθε περιοχή, μαζί με τις ημιευθείες, λέγεται γωνία.

Το $\displaystyle \mathrm{O}$ είναι η κορυφή της γωνίας και οι $\displaystyle \mathrm{O}x$ , $\displaystyle \mathrm{O}y$ οι πλευρές της. Η «μικρότερη» περιοχή δίνει την κυρτή γωνία, η άλλη τη μη κυρτή.

Τη γράφουμε $\displaystyle x\hat{\mathrm{O}}y$ , ή $\displaystyle \mathrm{A}\hat{\mathrm{O}}\mathrm{B}$ αν $\displaystyle \mathrm{A}$ και $\displaystyle \mathrm{B}$ είναι σημεία των πλευρών της: το γράμμα της κορυφής γράφεται πάντα στη μέση. Όταν δεν υπάρχει αμφιβολία, γράφουμε μόνο $\displaystyle \hat{\mathrm{O}}$ .

Τεθλασμένη γραμμή και ευθύγραμμα σχήματα

Τεθλασμένη γραμμή είναι μια γραμμή από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Ευθύγραμμο σχήμα λέγεται κάθε τεθλασμένη γραμμή της οποίας τα άκρα συμπίπτουν: τρίγωνο, τετράπλευρο, πεντάγωνο…

Μια τεθλασμένη γραμμή είναι κυρτή όταν η προέκταση κάθε πλευράς της αφήνει όλες τις άλλες πλευρές στο ίδιο ημιεπίπεδο. Διαφορετικά είναι μη κυρτή.

Δύο ευθύγραμμα σχήματα είναι ίσα αν συμπίπτουν όταν τοποθετηθούν το ένα πάνω στο άλλο. Τότε οι αντίστοιχες πλευρές και γωνίες τους είναι ίσες.

Τρίγωνο και τετράπλευρο

Το τρίγωνο $\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{B}{\Gamma}$ έχει τρεις πλευρές, τις $\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{B}$ , $\displaystyle \mathrm{B}{\Gamma}$ , $\displaystyle {\Gamma}\mathrm{A}$ , και τρεις γωνίες, τις $\displaystyle \hat{\mathrm{A}}$ , $\displaystyle \hat{\mathrm{B}}$ , $\displaystyle \hat{{\Gamma}}$ .

Η γωνία $\displaystyle \hat{\mathrm{A}}$ περιέχεται μεταξύ των πλευρών $\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{B}$ και $\displaystyle \mathrm{A}{\Gamma}$ .

Η πλευρά $\displaystyle \mathrm{B}{\Gamma}$ είναι απέναντι από τη γωνία $\displaystyle \hat{\mathrm{A}}$ .

Οι γωνίες $\displaystyle \hat{\mathrm{B}}$ και $\displaystyle \hat{{\Gamma}}$ είναι προσκείμενες στην πλευρά $\displaystyle \mathrm{B}{\Gamma}$ .

Στο τετράπλευρο $\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{B}{\Gamma}{\Delta}$ , τα τμήματα $\displaystyle \mathrm{A}{\Gamma}$ και $\displaystyle \mathrm{B}{\Delta}$ , που ενώνουν κορυφές που δεν είναι διαδοχικές, λέγονται διαγώνιες.

Λυμένο παράδειγμα

Πόσα ευθύγραμμα τμήματα ορίζουν πέντε σημεία $\displaystyle \mathrm{A}$ , $\displaystyle \mathrm{B}$ , $\displaystyle {\Gamma}$ , $\displaystyle {\Delta}$ , $\displaystyle \mathrm{E}$ ;

Λύση

Κάθε σημείο είναι άκρο $\displaystyle 4$ τμημάτων, άρα θα λέγαμε $\displaystyle 5 \cdot 4 = 20$ .
Όμως έτσι κάθε τμήμα μετριέται δύο φορές: το $\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{B}$ είναι το ίδιο με το $\displaystyle \mathrm{B}\mathrm{A}$ .
Άρα είναι $\displaystyle 20 : 2 = 10$ τμήματα: $\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{B}$ , $\displaystyle \mathrm{A}{\Gamma}$ , $\displaystyle \mathrm{A}{\Delta}$ , $\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{E}$ , $\displaystyle \mathrm{B}{\Gamma}$ , $\displaystyle \mathrm{B}{\Delta}$ , $\displaystyle \mathrm{B}\mathrm{E}$ , $\displaystyle {\Gamma}{\Delta}$ , $\displaystyle {\Gamma}\mathrm{E}$ , $\displaystyle {\Delta}\mathrm{E}$ .