Α΄ Γυμνασίου · Γεωμετρία · Κεφάλαιο 1 · Ενότητα 3

Μετράμε γωνίες: είδη γωνιών

Μοίρες και μοιρογνωμόνιο, διχοτόμος, οξεία, ορθή, αμβλεία, ευθεία και πλήρης γωνία, κάθετες ευθείες.

Σχολικό βιβλίο Μαθηματικών Α΄ Γυμνασίου: §Β1.5–Β1.6

Θεωρία

Μετράμε μια γωνία

Η μέτρηση των γωνιών γίνεται με το μοιρογνωμόνιο. Ο αριθμός που προκύπτει λέγεται μέτρο της γωνίας. Μονάδα μέτρησης είναι η μοίρα, που γράφεται $\displaystyle 1^\circ$ .

Τοποθετούμε το κέντρο του μοιρογνωμονίου στην κορυφή της γωνίας και την ευθεία του πάνω στη μία πλευρά. Διαβάζουμε στην κλίμακα που έχει το $\displaystyle 0$ πάνω σε αυτή την πλευρά: εδώ $\displaystyle \mathrm{A}\hat{\mathrm{O}}y = 50^\circ$ .

Οι μοίρες χωρίζονται σε μικρότερες μονάδες: $\displaystyle 1^\circ = 60'$ (πρώτα λεπτά) και $\displaystyle 1' = 60''$ (δεύτερα λεπτά).

Σύγκριση και ισότητα γωνιών

Κάθε γωνία έχει μοναδικό μέτρο, που εξαρτάται μόνο από το «άνοιγμα» των πλευρών της, όχι από το μήκος τους.

Αν δύο γωνίες έχουν το ίδιο μέτρο, είναι ίσες. Δύο γωνίες μπορούμε να τις συγκρίνουμε και χωρίς μέτρηση, αποτυπώνοντας τη μία σε διαφανές χαρτί και τοποθετώντας την πάνω στην άλλη.

Έτσι διαπιστώνουμε, για παράδειγμα, ότι οι προσκείμενες στη βάση γωνίες ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες.

Διχοτόμος γωνίας

Όπως κάθε ευθύγραμμο τμήμα έχει ένα μέσο που το χωρίζει σε δύο ίσα μέρη, έτσι και κάθε γωνία έχει μία ημιευθεία στο εσωτερικό της που τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες.

Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. Τη βρίσκουμε με το μοιρογνωμόνιο ή διπλώνοντας το χαρτί ώστε η μία πλευρά να πέσει πάνω στην άλλη.

Είδη γωνιών

Οξεία: μέτρο μικρότερο των $\displaystyle 90^\circ$ .

Ορθή: μέτρο ίσο με $\displaystyle 90^\circ$ . Οι πλευρές της είναι κάθετες ημιευθείες. Τη σημειώνουμε με ένα μικρό τετράγωνο.

Αμβλεία: μέτρο μεγαλύτερο των $\displaystyle 90^\circ$ και μικρότερο των $\displaystyle 180^\circ$ .

Ευθεία: μέτρο ίσο με $\displaystyle 180^\circ$ . Οι πλευρές της είναι αντικείμενες ημιευθείες.

Μη κυρτή: μέτρο μεγαλύτερο των $\displaystyle 180^\circ$ και μικρότερο των $\displaystyle 360^\circ$ .

Μηδενική ( $\displaystyle 0^\circ$ ) και πλήρης ( $\displaystyle 360^\circ$ ): η τελική πλευρά ταυτίζεται με την αρχική. Στην πλήρη έχει κάνει μια ολόκληρη στροφή.

Κάθετες ευθείες

Δύο ευθείες είναι κάθετες όταν οι γωνίες που σχηματίζουν τεμνόμενες είναι ορθές. Γράφουμε $\displaystyle \varepsilon_1 \perp \varepsilon_2$ και διαβάζουμε «η $\displaystyle \varepsilon_1$ είναι κάθετη στην $\displaystyle \varepsilon_2$ ».

Δύο ευθύγραμμα τμήματα ή δύο ημιευθείες πάνω σε δύο κάθετες ευθείες λέγονται επίσης κάθετα. Κάθετες ευθείες σχεδιάζουμε με τον γνώμονα, και δεν χρειάζεται να είναι οριζόντιες και κατακόρυφες.

Λυμένο παράδειγμα

Σχεδίασε μια γωνία $\displaystyle x\hat{\mathrm{O}}y = 76^\circ$ και μια ημιευθεία $\displaystyle \mathrm{O}z$ που τη χωρίζει σε δύο γωνίες, από τις οποίες η μία είναι $\displaystyle 56^\circ$ . Πόσες μοίρες είναι η άλλη;

Λύση

Με το μοιρογνωμόνιο σχεδιάζουμε την $\displaystyle \mathrm{O}z$ ώστε $\displaystyle x\hat{\mathrm{O}}z = 56^\circ$ .
Οι δύο γωνίες μαζί κάνουν τις $\displaystyle 76^\circ$ , άρα $\displaystyle z\hat{\mathrm{O}}y = 76^\circ - 56^\circ = 20^\circ$ .