Άθροισμα γωνιών τριγώνου, ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου

Οι γωνίες κάθε τριγώνου κάνουν 180°· η εξωτερική γωνία· το ορθογώνιο, το ισοσκελές και το ισόπλευρο τρίγωνο.

Σχολικό βιβλίο Μαθηματικών Α΄ Γυμνασίου: §Β3.2

Θεωρία

Οι γωνίες κάθε τριγώνου κάνουν 180°

Σε κάθε τρίγωνο $\displaystyle \mathrm{AB}\Gamma$ ισχύει:

$\displaystyle$ $\displaystyle \hat{\mathrm{A}} + \hat{\mathrm{B}} + \hat{\Gamma} = 180^\circ$ $\displaystyle$

Γιατί; Από την κορυφή $\displaystyle \mathrm{A}$ φέρνουμε την ευθεία $\displaystyle xy$ , παράλληλη στη $\displaystyle \mathrm{B}\Gamma$ . Οι γωνίες $\displaystyle \omega$ είναι εντός εναλλάξ (με τέμνουσα την $\displaystyle \mathrm{AB}$ ), άρα ίσες· το ίδιο οι γωνίες $\displaystyle \varphi$ (με τέμνουσα την $\displaystyle \mathrm{A}\Gamma$ ). Στο $\displaystyle \mathrm{A}$ , οι $\displaystyle \omega$ , $\displaystyle \hat{\mathrm{A}}$ και $\displaystyle \varphi$ σχηματίζουν μια ευθεία γωνία, $\displaystyle 180^\circ$ .

Τι προκύπτει

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο οι οξείες γωνίες είναι συμπληρωματικές: μαζί κάνουν $\displaystyle 90^\circ$ .
Η εξωτερική γωνία του τριγώνου, που σχηματίζεται από μια πλευρά και την προέκταση μιας άλλης, είναι ίση με το άθροισμα των δύο απέναντι γωνιών: $\displaystyle x = \hat{\mathrm{A}} + \hat{\mathrm{B}}$ .
Κάθε γωνία του ισόπλευρου τριγώνου είναι $\displaystyle 180^\circ : 3 = 60^\circ$ .

Το ισοσκελές και το ισόπλευρο τρίγωνο

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle \mathrm{AB}\Gamma$ με $\displaystyle \mathrm{AB} = \mathrm{A}\Gamma$ :

Η ευθεία της διαμέσου $\displaystyle \mathrm{AM}$ , που αντιστοιχεί στη βάση, είναι άξονας συμμετρίας του.
Η διάμεσος $\displaystyle \mathrm{AM}$ είναι και ύψος και διχοτόμος.
Οι γωνίες της βάσης είναι ίσες: $\displaystyle \hat{\mathrm{B}} = \hat{\Gamma}$ .

Σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο, οι ευθείες και των τριών διαμέσων είναι άξονες συμμετρίας, κάθε διάμεσος είναι ύψος και διχοτόμος, και όλες οι πλευρές και όλες οι γωνίες είναι ίσες.

Λυμένο παράδειγμα

Να δικαιολογηθεί ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι $\displaystyle 180^\circ$ .

Λύση

Από την κορυφή $\displaystyle {\mathrm{A}}$ φέρνουμε την ευθεία $\displaystyle xy$ , παράλληλη στη $\displaystyle {\mathrm{B}\Gamma}$ .
Η γωνία $\displaystyle x\hat{\mathrm{A}}\mathrm{B}$ και η $\displaystyle \hat{\mathrm{B}}$ είναι εντός εναλλάξ των παραλλήλων $\displaystyle xy$ και $\displaystyle {\mathrm{B}\Gamma}$ , με τέμνουσα την $\displaystyle {\mathrm{AB}}$ : είναι ίσες, $\displaystyle \omega$ .
Με τον ίδιο τρόπο, η $\displaystyle y\hat{\mathrm{A}}\Gamma$ είναι ίση με τη $\displaystyle \hat{\Gamma}$ , $\displaystyle \varphi$ . Οι $\displaystyle \omega$ , $\displaystyle \hat{\mathrm{A}}$ , $\displaystyle \varphi$ σχηματίζουν την ευθεία γωνία $\displaystyle xy$ , άρα $\displaystyle \hat{\mathrm{A}} + \hat{\mathrm{B}} + \hat{\Gamma} = \omega + \hat{\mathrm{A}} + \varphi = 180^\circ$ .