Στοιχεία τριγώνου, είδη τριγώνων

Πλευρές, γωνίες και κορυφές· οξυγώνιο, ορθογώνιο, αμβλυγώνιο, ισόπλευρο, ισοσκελές, σκαληνό· διάμεσος, ύψος, διχοτόμος.

Σχολικό βιβλίο Μαθηματικών Α΄ Γυμνασίου: §Β3.1

Θεωρία

Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου

Κάθε τρίγωνο $\displaystyle \mathrm{AB}\Gamma$ έχει τρεις κορυφές $\displaystyle \mathrm{A}$ , $\displaystyle \mathrm{B}$ , $\displaystyle \Gamma$ , τρεις πλευρές $\displaystyle \mathrm{AB}$ , $\displaystyle \mathrm{B}\Gamma$ , $\displaystyle \Gamma\mathrm{A}$ και τρεις γωνίες $\displaystyle \hat{\mathrm{A}}$ , $\displaystyle \hat{\mathrm{B}}$ , $\displaystyle \hat{{\Gamma}}$ .

Τα $\displaystyle \mathrm{AB}$ , $\displaystyle \mathrm{B}\Gamma$ , $\displaystyle \Gamma\mathrm{A}$ συμβολίζουν και τα μήκη των πλευρών.

Τα είδη ως προς τις γωνίες

Οξυγώνιο: όλες οι γωνίες του είναι οξείες, μικρότερες από την ορθή.
Ορθογώνιο: έχει μία γωνία ορθή.
Αμβλυγώνιο: έχει μία γωνία αμβλεία, μεγαλύτερη από την ορθή.

Στο σχήμα, ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο.

Τα είδη ως προς τις πλευρές

Ισόπλευρο: και οι τρεις πλευρές του είναι ίσες.
Ισοσκελές: δύο πλευρές του είναι ίσες. Η τρίτη λέγεται βάση.
Σκαληνό: όλες οι πλευρές του είναι άνισες.

Στα σχήματα, οι πλευρές με τα ίδια σημαδάκια είναι ίσες. Εδώ ένα ισοσκελές τρίγωνο, με $\displaystyle \mathrm{AB} = \mathrm{A}\Gamma$ και βάση τη $\displaystyle \mathrm{B}\Gamma$ .

Διάμεσος, ύψος, διχοτόμος

Διάμεσος είναι το τμήμα που ενώνει μια κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς.
Ύψος είναι το τμήμα από μια κορυφή, κάθετο στην ευθεία της απέναντι πλευράς: η απόσταση της κορυφής από αυτήν.
Διχοτόμος του τριγώνου είναι το τμήμα της διχοτόμου μιας γωνίας του, από την κορυφή ως την απέναντι πλευρά.

Κάθε τρίγωνο έχει τρεις διαμέσους, τρία ύψη και τρεις διχοτόμους. Στο σχήμα, το $\displaystyle \mathrm{A}\Delta$ είναι ύψος.

Λυμένο παράδειγμα

Να σχεδιαστούν τα ύψη σε ένα τρίγωνο (α) οξυγώνιο, (β) αμβλυγώνιο και (γ) ορθογώνιο.

Λύση

(α) Από κάθε κορυφή φέρνουμε την κάθετο στην απέναντι πλευρά: τα ύψη $\displaystyle \mathrm{A}\Delta$ , $\displaystyle \mathrm{BE}$ , $\displaystyle \Gamma\mathrm{Z}$ . Περνούν από το ίδιο σημείο $\displaystyle \mathrm{H}$ , το ορθόκεντρο.
(β) Στο αμβλυγώνιο, τα ύψη από τις κορυφές των οξειών γωνιών πέφτουν έξω από το τρίγωνο: προεκτείνουμε τις πλευρές. Οι ευθείες των υψών περνούν πάλι από ένα σημείο $\displaystyle \mathrm{H}$ , έξω από το τρίγωνο.
(γ) Στο ορθογώνιο, οι δύο κάθετες πλευρές είναι ύψη η μία για την άλλη. Το τρίτο ύψος πέφτει από την ορθή γωνία, και το ορθόκεντρο είναι η κορυφή της ορθής γωνίας.