Α΄ Γυμνασίου · Κεφάλαιο 7 · Ενότητα 3

Πρόσθεση ρητών αριθμών

Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων, αθροίσματα πολλών αριθμών, οι ιδιότητες της πρόσθεσης.

Σχολικό βιβλίο Μαθηματικών Α΄ Γυμνασίου: §7.3

Θεωρία

Πρόσθεση ομόσημων

Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους ρητούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμα βάζουμε το κοινό τους πρόσημο.

$\displaystyle (+3) + (+4) = +7$ : ανεβαίνουμε $\displaystyle 3$ και ύστερα άλλα $\displaystyle 4$ .
$\displaystyle (-1) + (-2) = -3$ : η θερμοκρασία ήταν $\displaystyle -1^\circ$ και έπεσε άλλους $\displaystyle 2$ βαθμούς.

Πρόσθεση ετερόσημων

Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους ρητούς, αφαιρούμε από τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή τη μικρότερη και στη διαφορά βάζουμε το πρόσημο εκείνου με τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.

$\displaystyle (-2) + (+5) = +3$ , γιατί $\displaystyle 5 - 2 = 3$ και το $\displaystyle +5$ «νικάει».
$\displaystyle (+5) + (-7) = -2$ , γιατί $\displaystyle 7 - 5 = 2$ και το $\displaystyle -7$ «νικάει».

Στον άξονα: ξεκινάμε από το $\displaystyle -2$ και πηγαίνουμε $\displaystyle 5$ μονάδες δεξιά, ως το $\displaystyle +3$ .

Ιδιότητες της πρόσθεσης

Αντιμεταθετική: $\displaystyle α + β = β + α$ . Αλλάζουμε τη σειρά των προσθετέων.
Προσεταιριστική: $\displaystyle α + (β + γ) = (α + β) + γ$ . Προσθέτουμε με όποια σειρά θέλουμε.
Με το μηδέν: $\displaystyle α + 0 = 0 + α = α$ .
Δύο αντίθετοι: $\displaystyle α + (-α) = 0$ .

Έτσι, σε ένα άθροισμα πολλών αριθμών, προσθέτουμε χωριστά τους θετικούς και χωριστά τους αρνητικούς, και διαγράφουμε τα ζευγάρια αντίθετων.

Λυμένο παράδειγμα

Το μεσημέρι η θερμοκρασία ήταν $\displaystyle +5^\circ\mathrm{C}$ και το βράδυ μειώθηκε κατά $\displaystyle 7^\circ\mathrm{C}$ . Ποια ήταν η θερμοκρασία το βράδυ;

Λύση

Μείωση κατά $\displaystyle 7$ βαθμούς σημαίνει μεταβολή $\displaystyle -7$ . Προσθέτουμε: $\displaystyle (+5) + (-7)$ .
Ετερόσημοι: $\displaystyle 7 - 5 = 2$ , με το πρόσημο του $\displaystyle -7$ . Η θερμοκρασία έγινε $\displaystyle (+5) + (-7) = -2^\circ\mathrm{C}$ .