Α΄ Γυμνασίου · Κεφάλαιο 7 · Ενότητα 2

Απόλυτη τιμή, αντίθετοι, σύγκριση ρητών

Η απόλυτη τιμή ως απόσταση από το μηδέν, οι αντίθετοι αριθμοί, και ποιος ρητός είναι μεγαλύτερος.

Σχολικό βιβλίο Μαθηματικών Α΄ Γυμνασίου: §7.2

Θεωρία

Απόλυτη τιμή

Η απόλυτη τιμή ενός ρητού α είναι η απόσταση του σημείου με τετμημένη α από την αρχή $\displaystyle \mathrm{O}$ του άξονα. Τη γράφουμε $\displaystyle |α|$ .

Η απόλυτη τιμή ενός θετικού είναι ο ίδιος ο αριθμός: $\displaystyle \lvert +3 \rvert = 3$ .
Η απόλυτη τιμή ενός αρνητικού είναι ο αντίθετός του: $\displaystyle \lvert -3 \rvert = 3$ .
$\displaystyle |0| = 0$ . Η απόλυτη τιμή δεν είναι ποτέ αρνητική.

Αντίθετοι αριθμοί

Δύο ετερόσημοι αριθμοί με την ίδια απόλυτη τιμή λέγονται αντίθετοι: π.χ. $\displaystyle -3$ και $\displaystyle +3$ , $\displaystyle +2{,}5$ και $\displaystyle -2{,}5$ . Ο αντίθετος του $\displaystyle x$ είναι ο $\displaystyle -x$ , και ο αντίθετος του $\displaystyle 0$ είναι το $\displaystyle 0$ .

Γράφουμε $\displaystyle -(+5) = -5$ και $\displaystyle -(-8) = +8$ . Στον άξονα, δύο αντίθετοι αριθμοί είναι σε συμμετρικά σημεία ως προς την αρχή $\displaystyle \mathrm{O}$ , όπως τα Α΄ και Α στο σχήμα πιο πάνω.

Σύγκριση ρητών

Από δύο ρητούς μεγαλύτερος είναι εκείνος που βρίσκεται δεξιότερα στον άξονα. Έτσι:

Κάθε θετικός είναι μεγαλύτερος από κάθε αρνητικό: $\displaystyle +1 > -20$ .
Το $\displaystyle 0$ είναι μεγαλύτερο από κάθε αρνητικό και μικρότερο από κάθε θετικό: $\displaystyle -4 < 0 < +3$ .
Από δύο θετικούς, μεγαλύτερος είναι αυτός με τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή: $\displaystyle +7 > +4$ .
Από δύο αρνητικούς, μεγαλύτερος είναι αυτός με τη μικρότερη απόλυτη τιμή: $\displaystyle -4 > -7$ .

Λυμένο παράδειγμα

Το σημείο Κ έχει τετμημένη $\displaystyle -7$ . Να βρεθεί το σημείο Λ με την αντίθετη τετμημένη.

Λύση

Ο αντίθετος του $\displaystyle -7$ έχει την ίδια απόλυτη τιμή, $\displaystyle 7$ , και το άλλο πρόσημο: είναι ο $\displaystyle +7$ .
Το Λ είναι $\displaystyle 7$ μονάδες δεξιά από το $\displaystyle 0$ , συμμετρικό του Κ ως προς την αρχή $\displaystyle \mathrm{O}$ .