Α΄ Γυμνασίου · Κεφάλαιο 7 · Ενότητα 5

Πολλαπλασιασμός ρητών αριθμών

Ο κανόνας των προσήμων, γινόμενα πολλών παραγόντων, αντίστροφοι, η επιμεριστική ιδιότητα.

Σχολικό βιβλίο Μαθηματικών Α΄ Γυμνασίου: §7.5

Θεωρία

Ο κανόνας των προσήμων

Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ρητούς, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και βάζουμε πρόσημο:

«+» αν είναι ομόσημοι: $\displaystyle (+3) \cdot (+4) = +12$ , $\displaystyle (-3) \cdot (-4) = +12$ .
«−» αν είναι ετερόσημοι: $\displaystyle (+3) \cdot (-4) = -12$ , $\displaystyle (-3) \cdot (+4) = -12$ .

Γιατί «πλην επί πλην κάνει συν»; Στα $\displaystyle (-10) \cdot (+3) = -30$ , $\displaystyle (-10) \cdot (+2) = -20$ , $\displaystyle (-10) \cdot (+1) = -10$ , $\displaystyle (-10) \cdot 0 = 0$ κάθε γινόμενο είναι $\displaystyle 10$ μεγαλύτερο από το προηγούμενο. Για να συνεχιστεί αυτό, πρέπει $\displaystyle (-10) \cdot (-1) = +10$ .

Γινόμενο πολλών παραγόντων

Πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές και βάζουμε:

«+» αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι άρτιο (ζυγό),
«−» αν είναι περιττό (μονό).

Αν ένας παράγοντας είναι $\displaystyle 0$ , το γινόμενο είναι $\displaystyle 0$ . Π.χ. $\displaystyle (-1)(-1)(-1) = -1$ , ενώ $\displaystyle (-1)(-1)(-1)(-1) = +1$ . Το σημείο « $\displaystyle \cdot$ » ανάμεσα σε παρενθέσεις και γράμματα συνήθως παραλείπεται.

Ιδιότητες, αντίστροφοι

Αντιμεταθετική $\displaystyle αβ = βα$ και προσεταιριστική $\displaystyle α(βγ) = (αβ)γ$ .
$\displaystyle 1 \cdot α = α$ , $\displaystyle (-1) \cdot α = -α$ και $\displaystyle 0 \cdot α = 0$ .
Επιμεριστική: $\displaystyle α(β + γ) = αβ + αγ$ και $\displaystyle α(β - γ) = αβ - αγ$ .
Δύο αριθμοί με γινόμενο $\displaystyle 1$ λέγονται αντίστροφοι: π.χ. $\displaystyle -\frac{2}{3}$ και $\displaystyle -\frac{3}{2}$ . Έχουν το ίδιο πρόσημο, και το $\displaystyle 0$ δεν έχει αντίστροφο.

Λυμένο παράδειγμα

Να υπολογιστούν τα γινόμενα: (α) $\displaystyle (-1{,}4) \cdot 5$ , (β) $\displaystyle (-10) \cdot (-0{,}7)$ .

Λύση

(α) Ετερόσημοι, άρα «−»: $\displaystyle (-1{,}4) \cdot 5 = -(1{,}4 \cdot 5) = -7$ .
(β) Ομόσημοι, άρα «+»: $\displaystyle (-10) \cdot (-0{,}7) = +(10 \cdot 0{,}7) = +7$ .