Pithi Συμμετρία

Α΄ Γυμνασίου · Γεωμετρία · Κεφάλαιο 2 · Ενότητα 3

Συμμετρία ως προς σημείο

Το συμμετρικό σημείου και σχήματος ως προς σημείο (στροφή κατά 180°) και το κέντρο συμμετρίας ενός σχήματος.

Σχολικό βιβλίο Μαθηματικών Α΄ Γυμνασίου: §Β2.4–Β2.5

Θεωρία

Συμμετρικό σημείου ως προς σημείο

Συμμετρικό ενός σημείου A\displaystyle \mathrm{A} ως προς ένα σημείο O\displaystyle \mathrm{O} είναι το σημείο A′\displaystyle \mathrm{A}' με το οποίο συμπίπτει το A\displaystyle \mathrm{A}, αν το στρίψουμε γύρω από το O\displaystyle \mathrm{O} κατά 180∘\displaystyle 180^\circ.

Δύο σημεία M\displaystyle \mathrm{M} και M′\displaystyle \mathrm{M}' είναι συμμετρικά ως προς το O\displaystyle \mathrm{O}, όταν το O\displaystyle \mathrm{O} είναι το μέσο του MM′\displaystyle \mathrm{M}\mathrm{M}'. Για να βρούμε το A′\displaystyle \mathrm{A}', φέρνουμε την AO\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{O} και στην προέκτασή της παίρνουμε OA′\displaystyle \mathrm{O}\mathrm{A}' =\displaystyle = AO\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{O}.

ddΑΟΑ΄

Συμμετρικά σχήματα ως προς σημείο

Δύο σχήματα είναι συμμετρικά ως προς ένα σημείο O\displaystyle \mathrm{O}, όταν κάθε σημείο του ενός είναι συμμετρικό ενός σημείου του άλλου ως προς το O\displaystyle \mathrm{O}.

Τα συμμετρικά ως προς σημείο σχήματα είναι ίσα. Επιπλέον:

  • το συμμετρικό ενός τμήματος AB\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{B} είναι τμήμα A′B′\displaystyle \mathrm{A}'\mathrm{B}' ίσο και παράλληλο: A′B′\displaystyle \mathrm{A}'\mathrm{B}' =\displaystyle = AB\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{B} και A′B′\displaystyle \mathrm{A}'\mathrm{B}' //\displaystyle // AB\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{B}·
  • δύο ευθείες συμμετρικές ως προς σημείο είναι παράλληλες·
  • το συμμετρικό ενός κύκλου (K,ρ)\displaystyle (\mathrm{K}, \rho) είναι κύκλος (K′,ρ)\displaystyle (\mathrm{K}', \rho), με το ίδιο ρ\displaystyle \rho.
ΟΑΒΓΑ΄Β΄Γ΄

Κέντρο συμμετρίας

Κέντρο συμμετρίας ενός σχήματος λέγεται ένα σημείο O\displaystyle \mathrm{O}, γύρω από το οποίο, αν στρίψουμε το σχήμα κατά 180∘\displaystyle 180^\circ, συμπίπτει με το αρχικό. Τότε το συμμετρικό του σχήματος ως προς το O\displaystyle \mathrm{O} είναι το ίδιο το σχήμα.

  • Το παραλληλόγραμμο (και το ορθογώνιο, ο ρόμβος, το τετράγωνο) έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο τομής των διαγωνίων του.
  • Ο κύκλος έχει κέντρο συμμετρίας το κέντρο του. Ένα τμήμα, το μέσο του.
  • Κανένα τρίγωνο δεν έχει κέντρο συμμετρίας.
ΑΒΓΔΟ

Λυμένο παράδειγμα

Στρίβουμε το τρίγωνο ABΓ\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{B}{\Gamma} γύρω από το σημείο O\displaystyle \mathrm{O} κατά 180∘\displaystyle 180^\circ και παίρνει τη θέση A′B′Γ′\displaystyle \mathrm{A}'\mathrm{B}'{\Gamma}'. Τι συμπεραίνεις;

ΟΑΒΓΑ΄Β΄Γ΄

Λύση

  1. Κάθε κορυφή διαγράφει μισό γύρο γύρω από το O\displaystyle \mathrm{O}: το A\displaystyle \mathrm{A} πάει στο A′\displaystyle \mathrm{A}', με το O\displaystyle \mathrm{O} στη μέση του AA′\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{A}'. Το ίδιο για τα B\displaystyle \mathrm{B} και Γ\displaystyle {\Gamma}.
  2. Το A′B′Γ′\displaystyle \mathrm{A}'\mathrm{B}'{\Gamma}' είναι το συμμετρικό του ABΓ\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{B}{\Gamma} ως προς το O\displaystyle \mathrm{O}. Αφού προέκυψε με στροφή, είναι ίσο με αυτό.