Pithi Συμμετρία

Α΄ Γυμνασίου · Γεωμετρία · Κεφάλαιο 2 · Ενότητα 4

Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία

Εντός, εκτός και επί τα αυτά, εντός εναλλάξ: ποιες γωνίες είναι ίσες και ποιες παραπληρωματικές.

Σχολικό βιβλίο Μαθηματικών Α΄ Γυμνασίου: §Β2.6

Θεωρία

Εντός, εκτός, επί τα αυτά, εναλλάξ

Δύο ευθείες ε1\displaystyle \varepsilon_1 και ε2\displaystyle \varepsilon_2 τέμνονται από μια τρίτη, την δ\displaystyle \delta, στα σημεία A\displaystyle \mathrm{A} και B\displaystyle \mathrm{B}. Σχηματίζονται οκτώ γωνίες.

  • Όσες βρίσκονται ανάμεσα στις ε1\displaystyle \varepsilon_1 και ε2\displaystyle \varepsilon_2 λέγονται εντός, οι άλλες εκτός.
  • Δύο γωνίες από την ίδια μεριά της δ\displaystyle \delta λέγονται επί τα αυτά· από διαφορετικές μεριές, εναλλάξ.

Έτσι, για μια γωνία στο A\displaystyle \mathrm{A} και μια στο B\displaystyle \mathrm{B} έχουμε έξι ονομασίες: εντός εναλλάξ, εκτός εναλλάξ, εντός και επί τα αυτά, εκτός και επί τα αυτά, εντός εκτός εναλλάξ και εντός εκτός και επί τα αυτά. Οι σκιασμένες γωνίες του σχήματος είναι οι τέσσερις εντός.

ε₁ε₂δΑΒ

Όταν οι ευθείες είναι παράλληλες

Αν ε1//ε2\displaystyle \varepsilon_1 // \varepsilon_2, οι γωνίες στα A\displaystyle \mathrm{A} και B\displaystyle \mathrm{B} είναι δύο ειδών: οι οξείες ω^\displaystyle \hat{\omega}, όλες ίσες μεταξύ τους, και οι αμβλείες φ^\displaystyle \hat{\varphi}, κι αυτές ίσες. Μια οξεία και μια αμβλεία είναι παραπληρωματικές: ω^+φ^=180∘\displaystyle \hat{\omega} + \hat{\varphi} = 180^\circ.

  • Ίσες είναι οι εντός εναλλάξ, οι εκτός εναλλάξ και οι εντός εκτός και επί τα αυτά.
  • Παραπληρωματικές είναι οι εντός και επί τα αυτά, οι εκτός και επί τα αυτά και οι εντός εκτός εναλλάξ.
ωωφφωωφφε₁ε₂δΑΒ

Λυμένο παράδειγμα

Πώς λέγονται οι γωνίες x^\displaystyle \hat{x} και y^\displaystyle \hat{y} του σχήματος;

xyε₁ε₂δΑΒ

Λύση

  1. Και οι δύο βρίσκονται ανάμεσα στις ε1\displaystyle \varepsilon_1 και ε2\displaystyle \varepsilon_2: είναι εντός.
  2. Η x^\displaystyle \hat{x} είναι αριστερά της δ\displaystyle \delta και η y^\displaystyle \hat{y} δεξιά: είναι εναλλάξ. Λέγονται εντός εναλλάξ, και αφού ε1//ε2\displaystyle \varepsilon_1 // \varepsilon_2 είναι ίσες.