Α΄ Γυμνασίου · Κεφάλαιο 2 · Ενότητα 3

Σύγκριση κλασμάτων

Ποιο κλάσμα είναι μεγαλύτερο; Ομώνυμα, ίδιος αριθμητής, ετερώνυμα, διάταξη.

Σχολικό βιβλίο Μαθηματικών Α΄ Γυμνασίου: §2.3

Θεωρία

Ομώνυμα κλάσματα

Όταν δύο κλάσματα έχουν τον ίδιο παρονομαστή, τα κομμάτια έχουν το ίδιο μέγεθος. Μεγαλύτερο είναι αυτό με τον μεγαλύτερο αριθμητή (παίρνουμε περισσότερα κομμάτια).

$\displaystyle \frac{3}{7} < \frac{5}{7}$ , γιατί $\displaystyle 3 < 5$ .

\displaystyle \frac{3}{7}

\displaystyle \frac{5}{7}

Κλάσματα με ίδιο αριθμητή

Όταν δύο κλάσματα έχουν τον ίδιο αριθμητή, παίρνουμε τον ίδιο αριθμό κομματιών. Μεγαλύτερο είναι αυτό με τον μικρότερο παρονομαστή, γιατί όσο λιγότερα τα κομμάτια, τόσο μεγαλύτερο το καθένα.

$\displaystyle \frac{2}{3} > \frac{2}{5}$ , γιατί τα τρίτα είναι μεγαλύτερα κομμάτια από τα πέμπτα.

\displaystyle \frac{2}{3}

\displaystyle \frac{2}{5}

Ετερώνυμα κλάσματα

Για να συγκρίνουμε κλάσματα με διαφορετικούς αριθμητές και παρονομαστές, τα κάνουμε πρώτα ομώνυμα (με το ΕΚΠ των παρονομαστών) και μετά συγκρίνουμε τους αριθμητές.

$\displaystyle \frac{3}{4}$ και $\displaystyle \frac{5}{6}$ : ΕΚΠ $\displaystyle (4, 6) = 12$ , $\displaystyle \frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ και $\displaystyle \frac{5}{6} = \frac{10}{12}$ .

Αφού $\displaystyle 9 < 10$ , είναι $\displaystyle \frac{3}{4} < \frac{5}{6}$ .

Γρήγορος τρόπος: χιαστί

Μπορούμε να συγκρίνουμε δύο κλάσματα και με τα γινόμενα «χιαστί», όπως στα ισοδύναμα:

$\displaystyle \frac{\alpha}{\beta} < \frac{\gamma}{\delta}$ όταν $\displaystyle \alpha \cdot \delta < \beta \cdot \gamma$ .

$\displaystyle \frac{3}{4}$ και $\displaystyle \frac{5}{6}$ : $\displaystyle 3 \cdot 6 = 18$ και $\displaystyle 4 \cdot 5 = 20$ . Αφού $\displaystyle 18 < 20$ , είναι $\displaystyle \frac{3}{4} < \frac{5}{6}$ .

Έξυπνο κόλπο: σύγκριση με το μισό

Μερικές φορές αρκεί να συγκρίνουμε κάθε κλάσμα με το $\displaystyle \frac{1}{2}$ (ή με το $\displaystyle 1$ ).

Το $\displaystyle \frac{3}{7}$ είναι λιγότερο από το μισό (το μισό του $\displaystyle 7$ είναι $\displaystyle 3{,}5$ ) και το $\displaystyle \frac{5}{8}$ είναι περισσότερο από το μισό (το μισό του $\displaystyle 8$ είναι $\displaystyle 4$ ). Άρα $\displaystyle \frac{3}{7} < \frac{5}{8}$ .

\displaystyle \frac{3}{7}

\displaystyle \frac{5}{8}

Διάταξη κλασμάτων

Για να βάλουμε πολλά κλάσματα σε σειρά, τα κάνουμε όλα ομώνυμα και τα διατάσσουμε με βάση τους αριθμητές.

Αύξουσα σειρά: από το μικρότερο στο μεγαλύτερο, με το σύμβολο $\displaystyle <$ .

Φθίνουσα σειρά: από το μεγαλύτερο στο μικρότερο, με το σύμβολο $\displaystyle >$ .

Λυμένο παράδειγμα

Σύγκρινε τα $\displaystyle \frac{5}{9}$ και $\displaystyle \frac{7}{9}$ .

Λύση

Τα κλάσματα έχουν τον ίδιο παρονομαστή, $\displaystyle 9$ (είναι ομώνυμα).
Συγκρίνουμε τους αριθμητές: $\displaystyle 5 < 7$ , άρα $\displaystyle \frac{5}{9} < \frac{7}{9}$ .