Πρόσθεση & αφαίρεση

Ετερώνυμα κλάσματα

Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε ετερώνυμα κλάσματα, τα κάνουμε πρώτα ομώνυμα (με το ΕΚΠ των παρονομαστών) και μετά προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους αριθμητές.

$\displaystyle \frac{1}{4} + \frac{5}{6}$: ΕΚΠ$\displaystyle (4, 6) = 12$, άρα $\displaystyle \frac{1}{4} + \frac{5}{6} = \frac{3}{12} + \frac{10}{12} = \frac{13}{12}$.

Μεγάλο λάθος: προσθέτω τους παρονομαστές

Ποτέ δεν προσθέτουμε τους παρονομαστές!

$\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ δεν κάνει $\displaystyle \frac{2}{4}$ (αυτό είναι πάλι μισό!). Δύο μισά κάνουν ένα ολόκληρο: $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Ο παρονομαστής λέει τι είδους κομμάτια έχουμε (μισά, τρίτα…), όχι πόσα.

Απλοποιούμε το αποτέλεσμα

Στο τέλος ελέγχουμε αν το αποτέλεσμα απλοποιείται και το γράφουμε ανάγωγο:

$\displaystyle \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Φυσικός αριθμός και κλάσμα

Κάθε φυσικός αριθμός γράφεται ως κλάσμα με όποιον παρονομαστή θέλουμε: $\displaystyle 1 = \frac{4}{4}$, $\displaystyle 2 = \frac{8}{4}$, $\displaystyle 3 = \frac{15}{5}$.

Έτσι $\displaystyle 2 + \frac{3}{4} = \frac{8}{4} + \frac{3}{4} = \frac{11}{4}$ και $\displaystyle 1 - \frac{2}{5} = \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.

Το $\displaystyle 1 - \frac{\alpha}{\beta}$ είναι πολύ χρήσιμο στα προβλήματα: δείχνει τι μέρος έμεινε από το όλο.

Πρόσθεση και αφαίρεση μεικτών

Γράφουμε τους μεικτούς ως κλάσματα, κάνουμε την πράξη και γράφουμε το αποτέλεσμα ξανά ως μεικτό:

$\displaystyle 1\frac{1}{2} + 2\frac{2}{3} = \frac{3}{2} + \frac{8}{3} = \frac{9}{6} + \frac{16}{6} = \frac{25}{6} = 4\frac{1}{6}$

Στην πρόσθεση μπορούμε και να προσθέσουμε χωριστά τις ακέραιες μονάδες ($\displaystyle 1 + 2 = 3$) και τα κλάσματα ($\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$): $\displaystyle 3 + 1\frac{1}{6} = 4\frac{1}{6}$.

Ιδιότητες της πρόσθεσης

Όπως και στους φυσικούς αριθμούς, στην πρόσθεση κλασμάτων μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά των προσθετέων (αντιμεταθετική ιδιότητα) και να τους ομαδοποιήσουμε όπως θέλουμε (προσεταιριστική ιδιότητα):

$\displaystyle \frac{2}{5} + \frac{1}{3} + \frac{3}{5} = \left(\frac{2}{5} + \frac{3}{5}\right) + \frac{1}{3} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$