Pithi Κλάσματα

Α΄ Γυμνασίου · Κεφάλαιο 2 · Ενότητα 5

Πολλαπλασιασμός

Γινόμενο κλασμάτων, κλάσμα ενός κλάσματος, απλοποίηση πριν τον πολλαπλασιασμό και αντίστροφοι αριθμοί.

Σχολικό βιβλίο Μαθηματικών Α΄ Γυμνασίου: §2.5

Θεωρία

Γινόμενο κλασμάτων

Για να πολλαπλασιάσουμε κλάσματα, πολλαπλασιάζουμε αριθμητή με αριθμητή και παρονομαστή με παρονομαστή:

αβ⋅γδ=α⋅γβ⋅δ\displaystyle \frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{\gamma}{\delta} = \frac{\alpha \cdot \gamma}{\beta \cdot \delta}

Π.χ. 23⋅45=2⋅43⋅5=815\displaystyle \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15}.

Στον πολλαπλασιασμό δεν χρειάζεται να κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα!

Τι σημαίνει το γινόμενο;

Το 23⋅34\displaystyle \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} σημαίνει «τα 23\displaystyle \frac{2}{3} των 34\displaystyle \frac{3}{4}».

Στο ορθογώνιο χρωματίσαμε τα 23\displaystyle \frac{2}{3} του πλάτους και τα 34\displaystyle \frac{3}{4} του ύψους. Η κοινή περιοχή είναι 6\displaystyle 6 από τα 12\displaystyle 12 κουτάκια:

23⋅34=612=12\displaystyle \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}

Φυσικός αριθμός επί κλάσμα

Ο φυσικός αριθμός γράφεται ως κλάσμα με παρονομαστή 1\displaystyle 1, άρα πολλαπλασιάζεται μόνο ο αριθμητής:

3⋅27=31⋅27=67\displaystyle 3 \cdot \frac{2}{7} = \frac{3}{1} \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{7}

Είναι το ίδιο με 27+27+27=67\displaystyle \frac{2}{7} + \frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{6}{7}.

Απλοποιούμε πριν πολλαπλασιάσουμε

Αν ένας αριθμητής και ένας παρονομαστής (ακόμα και από διαφορετικά κλάσματα) έχουν κοινό διαιρέτη, τους απλοποιούμε πριν τον πολλαπλασιασμό. Έτσι οι αριθμοί μένουν μικροί:

49⋅38=13⋅12=16\displaystyle \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}

(απλοποιήσαμε το 4\displaystyle 4 με το 8\displaystyle 8 και το 3\displaystyle 3 με το 9\displaystyle 9).

Κλάσμα ενός αριθμού ή κλάσματος

Η λέξη «των» ή «του» μετά από κλάσμα σημαίνει πολλαπλασιασμό:

τα 34\displaystyle \frac{3}{4} του 20\displaystyle 20: 34⋅20=604=15\displaystyle \frac{3}{4} \cdot 20 = \frac{60}{4} = 15

τα 23\displaystyle \frac{2}{3} των 35\displaystyle \frac{3}{5}: 23⋅35=615=25\displaystyle \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}

Αντίστροφοι αριθμοί

Δύο αριθμοί λέγονται αντίστροφοι όταν το γινόμενό τους είναι 1\displaystyle 1.

Ο αντίστροφος του αβ\displaystyle \frac{\alpha}{\beta} είναι το βα\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}: 35⋅53=1515=1\displaystyle \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{15}{15} = 1.

Ο αντίστροφος του 4\displaystyle 4 είναι το 14\displaystyle \frac{1}{4}. Το 0\displaystyle 0 δεν έχει αντίστροφο.

Μεγαλώνει ή μικραίνει;

Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό με κλάσμα μικρότερο από 1, το αποτέλεσμα μικραίνει: 12⋅12=6\displaystyle 12 \cdot \frac{1}{2} = 6

Με κλάσμα ίσο με 1 μένει ίδιο: 12⋅55=12\displaystyle 12 \cdot \frac{5}{5} = 12

Με κλάσμα μεγαλύτερο από 1 μεγαλώνει: 12⋅32=18\displaystyle 12 \cdot \frac{3}{2} = 18

Οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού (αντιμεταθετική, προσεταιριστική, α⋅1=α\displaystyle \alpha \cdot 1 = \alpha, α⋅0=0\displaystyle \alpha \cdot 0 = 0, επιμεριστική) ισχύουν και για τα κλάσματα.

Λυμένο παράδειγμα

Υπολόγισε: 34⋅25\displaystyle \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5}

Λύση

  1. 34⋅25=3⋅24⋅5=620\displaystyle \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 5} = \frac{6}{20}
  2. Απλοποιούμε: 620=310\displaystyle \frac{6}{20} = \frac{3}{10}.
  3. Ή πιο γρήγορα, απλοποιούμε πρώτα το 2\displaystyle 2 με το 4\displaystyle 4: 32⋅15=310\displaystyle \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{10}.