Pithi Κλάσματα

Α΄ Γυμνασίου · Κεφάλαιο 2 · Ενότητα 2

Ισοδύναμα κλάσματα & απλοποίηση

Διαφορετικά κλάσματα, ίδια τιμή. Απλοποίηση, ανάγωγα, ομώνυμα κλάσματα.

Σχολικό βιβλίο Μαθηματικών Α΄ Γυμνασίου: §2.2

Θεωρία

Τι είναι ισοδύναμα κλάσματα

Δύο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα όταν εκφράζουν το ίδιο μέρος του όλου, δηλαδή έχουν την ίδια τιμή.

Δες τις ράβδους: όσο κι αν τις κόψουμε, το χρωματισμένο μήκος είναι το ίδιο. Άρα 12=24=48\displaystyle \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8}.

12\displaystyle \frac{1}{2}
24\displaystyle \frac{2}{4}
48\displaystyle \frac{4}{8}

Πώς φτιάχνω ισοδύναμα κλάσματα

Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό (όχι το 0\displaystyle 0), παίρνουμε ισοδύναμο κλάσμα:

23=2⋅43⋅4=812\displaystyle \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12} και 1520=15:520:5=34\displaystyle \frac{15}{20} = \frac{15 : 5}{20 : 5} = \frac{3}{4}.

Προσοχή: αν προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό στους δύο όρους, δεν παίρνουμε ισοδύναμο κλάσμα. Για παράδειγμα, 12≠1+12+1=23\displaystyle \frac{1}{2} \neq \frac{1 + 1}{2 + 1} = \frac{2}{3}.

Έλεγχος με «χιαστί»

Για να δούμε αν δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα, πολλαπλασιάζουμε «χιαστί»:

αβ=γδ\displaystyle \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta} όταν α⋅δ=β⋅γ\displaystyle \alpha \cdot \delta = \beta \cdot \gamma.

Π.χ. 34\displaystyle \frac{3}{4} και 912\displaystyle \frac{9}{12}: 3⋅12=36\displaystyle 3 \cdot 12 = 36 και 4⋅9=36\displaystyle 4 \cdot 9 = 36. Τα γινόμενα είναι ίσα, άρα τα κλάσματα είναι ισοδύναμα.

Απλοποίηση και ανάγωγα κλάσματα

Απλοποίηση λέμε τη διαίρεση και των δύο όρων ενός κλάσματος με έναν κοινό τους διαιρέτη. Το κλάσμα που προκύπτει είναι ισοδύναμο, αλλά με μικρότερους αριθμούς.

Ένα κλάσμα που δεν απλοποιείται άλλο λέγεται ανάγωγο, π.χ. 34\displaystyle \frac{3}{4} ή 57\displaystyle \frac{5}{7}.

Για να γίνει ένα κλάσμα ανάγωγο με τη μία, διαιρούμε τους όρους του με τον ΜΚΔ τους: ΜΚΔ(18,24)=6\displaystyle (18, 24) = 6, άρα 1824=18:624:6=34\displaystyle \frac{18}{24} = \frac{18 : 6}{24 : 6} = \frac{3}{4}.

Μπορούμε και σε βήματα: 1824=912=34\displaystyle \frac{18}{24} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}.

Ομώνυμα και ετερώνυμα κλάσματα

Κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή λέγονται ομώνυμα, π.χ. 27\displaystyle \frac{2}{7} και 57\displaystyle \frac{5}{7}. Με διαφορετικούς παρονομαστές λέγονται ετερώνυμα, π.χ. 14\displaystyle \frac{1}{4} και 56\displaystyle \frac{5}{6}.

Για να κάνουμε ετερώνυμα κλάσματα ομώνυμα:

1. Βρίσκουμε το ΕΚΠ των παρονομαστών: ΕΚΠ(4,6)=12\displaystyle (4, 6) = 12.

2. Γράφουμε κάθε κλάσμα ως ισοδύναμο με παρονομαστή το ΕΚΠ: 14=1⋅34⋅3=312\displaystyle \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12} και 56=5⋅26⋅2=1012\displaystyle \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12}.

Αυτό θα μας χρειαστεί για να συγκρίνουμε, να προσθέτουμε και να αφαιρούμε κλάσματα!

Λυμένο παράδειγμα

Γράψε τρία κλάσματα ισοδύναμα με το 25\displaystyle \frac{2}{5}.

Λύση

  1. Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους με 2\displaystyle 2: 2⋅25⋅2=410\displaystyle \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{4}{10}.
  2. Με 3\displaystyle 3: 2⋅35⋅3=615\displaystyle \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}.
  3. Με 4\displaystyle 4: 2⋅45⋅4=820\displaystyle \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{8}{20}.
  4. Άρα 25=410=615=820\displaystyle \frac{2}{5} = \frac{4}{10} = \frac{6}{15} = \frac{8}{20}. Υπάρχουν άπειρα ισοδύναμα κλάσματα!