Η έννοια του κλάσματος

Τι είναι κλάσμα

Κλάσμα ονομάζεται κάθε αριθμός $\displaystyle \frac{\kappa}{\nu}$, όπου $\displaystyle \kappa, \nu$ φυσικοί αριθμοί και $\displaystyle \nu \neq 0$.

Το κλάσμα $\displaystyle \frac{\kappa}{\nu}$ εκφράζει τα $\displaystyle \kappa$ μέρη από τα $\displaystyle \nu$ ίσα μέρη στα οποία έχει χωριστεί μια ποσότητα (το «όλο»).

Στην πίτσα δίπλα, χωρίσαμε το όλο σε $\displaystyle 8$ ίσα κομμάτια και πήραμε τα $\displaystyle 3$. Πήραμε λοιπόν τα $\displaystyle \frac{3}{8}$ της πίτσας.

Κλασματική μονάδα

Το κλάσμα $\displaystyle \frac{1}{\nu}$ εκφράζει το ένα από τα $\displaystyle \nu$ ίσα μέρη στα οποία χωρίζεται μια ποσότητα και λέγεται κλασματική μονάδα, όπως τα $\displaystyle \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}$.

Κάθε κλάσμα φτιάχνεται από κλασματικές μονάδες: $\displaystyle \frac{\kappa}{\nu} = \kappa \cdot \frac{1}{\nu}$. Για παράδειγμα, το $\displaystyle \frac{3}{5}$ είναι $\displaystyle 3$ φορές το $\displaystyle \frac{1}{5}$.

Αναγωγή στη μονάδα

Για να βρούμε τα $\displaystyle \frac{\kappa}{\nu}$ μιας ποσότητας, περνάμε πρώτα από ένα μέρος, το $\displaystyle \frac{1}{\nu}$:

1. Όλη η ποσότητα είναι τα $\displaystyle \frac{\nu}{\nu}$. Τη διαιρούμε με τον παρονομαστή $\displaystyle \nu$ και βρίσκουμε το $\displaystyle \frac{1}{\nu}$.

2. Πολλαπλασιάζουμε με τον αριθμητή $\displaystyle \kappa$ και βρίσκουμε τα $\displaystyle \frac{\kappa}{\nu}$.

Αυτός ο τρόπος λέγεται αναγωγή στη μονάδα.

Μια δεξαμενή χωράει $\displaystyle 2.000$ λίτρα και είναι γεμάτη κατά τα $\displaystyle \frac{3}{4}$. Όλη η δεξαμενή, τα $\displaystyle \frac{4}{4}$, είναι $\displaystyle 2.000$ λίτρα, άρα το $\displaystyle \frac{1}{4}$ είναι $\displaystyle 2.000 : 4 = 500$ λίτρα και τα $\displaystyle \frac{3}{4}$ είναι $\displaystyle 3 \cdot 500 = 1.500$ λίτρα.

Βρίσκω το όλο από ένα μέρος

Μερικές φορές ξέρουμε το μέρος και ψάχνουμε το όλο. Κάνουμε πάλι αναγωγή στη μονάδα. Αν τα $\displaystyle \frac{\kappa}{\nu}$ μιας ποσότητας είναι ένας αριθμός:

1. Διαιρούμε τον αριθμό με τον αριθμητή $\displaystyle \kappa$ (βρίσκουμε το ένα μέρος, το $\displaystyle \frac{1}{\nu}$).

2. Πολλαπλασιάζουμε με τον παρονομαστή $\displaystyle \nu$ (το όλο, τα $\displaystyle \frac{\nu}{\nu}$, έχει $\displaystyle \nu$ τέτοια μέρη).

Αν τα $\displaystyle \frac{3}{8}$ μιας τάξης είναι $\displaystyle 12$ μαθητές: $\displaystyle 12 : 3 = 4$ και $\displaystyle 4 \cdot 8 = 32$ μαθητές.

Από το όλο μπορούμε μετά να βρούμε οποιοδήποτε άλλο μέρος: τα $\displaystyle \frac{5}{8}$ της ίδιας τάξης είναι $\displaystyle 5 \cdot 4 = 20$ μαθητές.

Μικρότερο, ίσο ή μεγαλύτερο από 1

Αν ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή, το κλάσμα είναι μικρότερο από $\displaystyle 1$, π.χ. $\displaystyle \frac{3}{4} < 1$.

Αν είναι ίσοι, το κλάσμα είναι ίσο με $\displaystyle 1$, π.χ. $\displaystyle \frac{4}{4} = 1$.

Αν ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος, το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από $\displaystyle 1$, π.χ. $\displaystyle \frac{5}{4} > 1$.