Ευκλείδεια διαίρεση, διαιρετότητα

Ευκλείδεια διαίρεση

Όταν διαιρούμε τον διαιρετέο $\displaystyle \Delta$ με τον διαιρέτη $\displaystyle \delta$, βρίσκουμε το πηλίκο $\displaystyle \pi$ και το υπόλοιπο $\displaystyle \upsilon$, ώστε:

$\displaystyle \Delta = \delta \cdot \pi + \upsilon$, με $\displaystyle \upsilon < \delta$

Αυτή λέγεται ευκλείδεια διαίρεση. Π.χ. $\displaystyle 47 : 5$ δίνει πηλίκο $\displaystyle 9$ και υπόλοιπο $\displaystyle 2$, γιατί $\displaystyle 47 = 5 \cdot 9 + 2$. Το υπόλοιπο είναι πάντα μικρότερο από τον διαιρέτη: αλλιώς ο διαιρέτης θα χωρούσε ακόμα μία φορά.

Τέλεια διαίρεση

Αν το υπόλοιπο είναι $\displaystyle 0$, η διαίρεση λέγεται τέλεια: $\displaystyle \Delta = \delta \cdot \pi$. Π.χ. $\displaystyle 42 : 6 = 7$, γιατί $\displaystyle 42 = 6 \cdot 7$.

Για κάθε φυσικό $\displaystyle \alpha \neq 0$: $\displaystyle \;\alpha : 1 = \alpha$, $\displaystyle \;\alpha : \alpha = 1$, $\displaystyle \;0 : \alpha = 0$.

Δεν διαιρούμε ποτέ με το $\displaystyle 0$!

Πολλαπλάσια και διαιρέτες

Αν η διαίρεση $\displaystyle \alpha : \beta$ είναι τέλεια, λέμε ότι:

ο $\displaystyle \beta$ διαιρεί τον $\displaystyle \alpha$, ή ο $\displaystyle \beta$ είναι διαιρέτης του $\displaystyle \alpha$, ή ο $\displaystyle \alpha$ είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle \beta$.

Πολλαπλάσια του $\displaystyle 6$: $\displaystyle 0, 6, 12, 18, 24, \ldots$ (τα $\displaystyle 6 \cdot 0, 6 \cdot 1, 6 \cdot 2, \ldots$). Είναι άπειρα.

Διαιρέτες του $\displaystyle 12$: $\displaystyle 1, 2, 3, 4, 6, 12$. Βρίσκονται εύκολα σε ζευγάρια: $\displaystyle 1 \cdot 12$, $\displaystyle 2 \cdot 6$, $\displaystyle 3 \cdot 4$.