Χαρακτήρες διαιρετότητας, ΜΚΔ, ΕΚΠ, πρώτοι αριθμοί

Κριτήρια διαιρετότητας

Τα κριτήρια διαιρετότητας μάς λένε αν ένας αριθμός διαιρείται με κάποιους αριθμούς χωρίς να κάνουμε τη διαίρεση:

Με 2, 5 ή 10: κοιτάμε το τελευταίο ψηφίο. Με το $\displaystyle 2$ αν είναι $\displaystyle 0, 2, 4, 6, 8$· με το $\displaystyle 5$ αν είναι $\displaystyle 0$ ή $\displaystyle 5$· με το $\displaystyle 10$ αν είναι $\displaystyle 0$.

Με 3 ή 9: κοιτάμε το άθροισμα των ψηφίων. Ο $\displaystyle 5.274$ έχει άθροισμα $\displaystyle 5 + 2 + 7 + 4 = 18$, άρα διαιρείται και με το $\displaystyle 3$ και με το $\displaystyle 9$.

Με 4: κοιτάμε τον αριθμό που σχηματίζουν τα δύο τελευταία ψηφία. Αν αυτός διαιρείται με το $\displaystyle 4$, διαιρείται και όλος ο αριθμός.

Ο $\displaystyle 2.520$ διαιρείται με το $\displaystyle 4$, γιατί το $\displaystyle 20 = 4 \cdot 5$. Ο $\displaystyle 3.716$ διαιρείται, γιατί το $\displaystyle 16 = 4 \cdot 4$. Ο $\displaystyle 1.330$ όχι, γιατί το $\displaystyle 30$ δεν διαιρείται με το $\displaystyle 4$.

Χρήσιμοι κανόνες για το 4 και το 25

Λήγει σε 00: αν τα δύο τελευταία ψηφία είναι μηδέν, ο αριθμός διαιρείται και με το $\displaystyle 4$ και με το $\displaystyle 25$. Ο $\displaystyle 3.700$ διαιρείται και με τα δύο.

Για το 25: τα δύο τελευταία ψηφία πρέπει να είναι $\displaystyle 00$, $\displaystyle 25$, $\displaystyle 50$ ή $\displaystyle 75$. Ο $\displaystyle 4.175$ διαιρείται με το $\displaystyle 25$, ο $\displaystyle 4.180$ όχι.

Για το 4, αλλιώς: το $\displaystyle 4 = 2 \cdot 2$, άρα παίρνουμε το μισό δύο φορές: $\displaystyle 2.520 : 2 = 1.260$ και $\displaystyle 1.260 : 2 = 630$, χωρίς υπόλοιπο.

Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί

Ένας αριθμός μεγαλύτερος από το $\displaystyle 1$ λέγεται πρώτος αν έχει μόνο δύο διαιρέτες: το $\displaystyle 1$ και τον εαυτό του. Οι πρώτοι αριθμοί ως το $\displaystyle 30$ είναι:

$\displaystyle 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$

Οι υπόλοιποι (π.χ. $\displaystyle 4, 6, 9, 15, 51$) λέγονται σύνθετοι. Το $\displaystyle 1$ δεν είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος. Ο $\displaystyle 2$ είναι ο μόνος άρτιος πρώτος.

Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Κάθε σύνθετος αριθμός γράφεται ως γινόμενο πρώτων αριθμών, με έναν μόνο τρόπο. Διαιρούμε διαδοχικά με τον μικρότερο πρώτο που χωράει:

$\displaystyle 360 : 2 = 180$, $\displaystyle \;180 : 2 = 90$, $\displaystyle \;90 : 2 = 45$, $\displaystyle \;45 : 3 = 15$, $\displaystyle \;15 : 3 = 5$, $\displaystyle \;5 : 5 = 1$

Άρα $\displaystyle 360 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$.

ΜΚΔ και ΕΚΠ

Ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ) δύο αριθμών είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που διαιρεί και τους δύο. $\displaystyle \text{ΜΚΔ}(12, 18) = 6$.

Το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) είναι το μικρότερο (μη μηδενικό) πολλαπλάσιο και των δύο. $\displaystyle \text{ΕΚΠ}(4, 6) = 12$.

Με την ανάλυση σε πρώτους: ο ΜΚΔ είναι το γινόμενο των κοινών παραγόντων με τον μικρότερο εκθέτη, και το ΕΚΠ το γινόμενο όλων των παραγόντων με τον μεγαλύτερο εκθέτη.

Αν $\displaystyle \text{ΜΚΔ}(\alpha, \beta) = 1$, οι αριθμοί λέγονται πρώτοι μεταξύ τους, π.χ. $\displaystyle 8$ και $\displaystyle 15$.