Λύνουμε εξισώσεις

Πώς λύνουμε μια εξίσωση

Για να λύσουμε μια απλή εξίσωση, σκεφτόμαστε τι είναι ο άγνωστος στην πράξη: προσθετέος, μειωτέος, παράγοντας, διαιρέτης… Βάσει των ορισμών των πράξεων:

$\displaystyle x + \alpha = \beta \;$ έχει λύση την $\displaystyle \; x = \beta - \alpha$

$\displaystyle x - \alpha = \beta \;$ έχει λύση την $\displaystyle \; x = \beta + \alpha$

$\displaystyle \alpha - x = \beta \;$ έχει λύση την $\displaystyle \; x = \alpha - \beta$

$\displaystyle \alpha x = \beta \;$ έχει λύση την $\displaystyle \; x = \beta : \alpha$

$\displaystyle x : \alpha = \beta \;$ έχει λύση την $\displaystyle \; x = \beta \cdot \alpha$

$\displaystyle \alpha : x = \beta \;$ έχει λύση την $\displaystyle \; x = \alpha : \beta$

Πρόσθεση και αφαίρεση

Στην $\displaystyle x + 5 = 12$ ο $\displaystyle x$ είναι προσθετέος: ένας προσθετέος είναι το άθροισμα μείον τον άλλο προσθετέο. Άρα $\displaystyle x = 12 - 5$, δηλαδή $\displaystyle x = 7$.

Στην $\displaystyle y - 2 = 3$ ο $\displaystyle y$ είναι ο μειωτέος: μειωτέος = διαφορά + αφαιρετέος. Άρα $\displaystyle y = 3 + 2$, δηλαδή $\displaystyle y = 5$.

Στην $\displaystyle 10 - z = 1$ ο $\displaystyle z$ είναι ο αφαιρετέος: αφαιρετέος = μειωτέος − διαφορά. Άρα $\displaystyle z = 10 - 1$, δηλαδή $\displaystyle z = 9$.

Πρόσεξε τη διαφορά: στην $\displaystyle x - 2 = 3$ προσθέτουμε, ενώ στην $\displaystyle 10 - x = 1$ αφαιρούμε.

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση

Στην $\displaystyle 7\varphi = 14$ ο $\displaystyle \varphi$ είναι παράγοντας: παράγοντας = γινόμενο : άλλος παράγοντας. Άρα $\displaystyle \varphi = 14 : 7$, δηλαδή $\displaystyle \varphi = 2$.

Στην $\displaystyle \omega : 5 = 4$ ο $\displaystyle \omega$ είναι ο διαιρετέος: διαιρετέος = πηλίκο · διαιρέτης. Άρα $\displaystyle \omega = 4 \cdot 5$, δηλαδή $\displaystyle \omega = 20$.

Στην $\displaystyle 24 : \psi = 6$ ο $\displaystyle \psi$ είναι ο διαιρέτης: διαιρέτης = διαιρετέος : πηλίκο. Άρα $\displaystyle \psi = 24 : 6$, δηλαδή $\displaystyle \psi = 4$.

Η λύση δεν είναι πάντα φυσικός αριθμός: στην $\displaystyle 7\varphi = 12$ είναι $\displaystyle \varphi = 12 : 7 = \frac{12}{7}$.

Πάντα επαλήθευση

Όταν βρούμε τη λύση, την επαληθεύουμε: τη βάζουμε στη θέση του αγνώστου και ελέγχουμε ότι η ισότητα ισχύει.

$\displaystyle x + 5 = 12$, λύση $\displaystyle x = 7$. Επαλήθευση: $\displaystyle 7 + 5 = 12$ ✓

Αν η ισότητα δεν ισχύει, κάπου έγινε λάθος: συνήθως κάναμε την αντίθετη πράξη από αυτή που χρειαζόταν.

Πρώτα γράφουμε συντομότερα

Αν η εξίσωση έχει πράξεις που μπορούν να γίνουν, τις κάνουμε πρώτα:

$\displaystyle t + 4 + 1 = 3 + 19$ γίνεται $\displaystyle t + 5 = 22$, άρα $\displaystyle t = 22 - 5 = 17$.

$\displaystyle 3x + 5x = 48$ γίνεται $\displaystyle 8x = 48$, άρα $\displaystyle x = 48 : 8 = 6$.