Η έννοια της εξίσωσης

Γράμματα στη θέση των αριθμών

Όταν δεν ξέρουμε έναν αριθμό, τον λέμε με ένα γράμμα, συνήθως $\displaystyle x$. Έτσι μια φράση γράφεται με σύμβολα:

«ένας αριθμός αυξάνεται κατά $\displaystyle 8$»: $\displaystyle x + 8$

«ένας αριθμός ελαττώνεται κατά $\displaystyle 5$»: $\displaystyle x - 5$

«το τριπλάσιο ενός αριθμού»: $\displaystyle 3 \cdot x$

Το $\displaystyle 3 \cdot x$ το γράφουμε πιο σύντομα $\displaystyle 3x$, χωρίς την τελεία του πολλαπλασιασμού. Προσοχή: αν $\displaystyle x = 4$, τότε $\displaystyle 3x = 3 \cdot 4 = 12$, όχι $\displaystyle 34$!

Η σειρά μετράει: «το τριπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά $\displaystyle 2$» είναι $\displaystyle 3x + 2$, ενώ «το τριπλάσιο του αθροίσματος ενός αριθμού και του $\displaystyle 2$» είναι $\displaystyle 3(x + 2)$.

Γράφουμε συντομότερα

Ένα άθροισμα με το ίδιο γράμμα πολλές φορές γράφεται πιο σύντομα:

$\displaystyle x + x + x + x = 4x$

Όπως $\displaystyle 3$ μήλα και $\displaystyle 5$ μήλα κάνουν $\displaystyle 8$ μήλα, έτσι, με την επιμεριστική ιδιότητα:

$\displaystyle 3\alpha + 5\alpha = (3 + 5)\alpha = 8\alpha$

$\displaystyle 15\beta - 9\beta = (15 - 9)\beta = 6\beta$

Προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους αριθμούς μπροστά από το γράμμα, και το γράμμα μένει ίδιο.

Τι είναι εξίσωση

Στην ισότητα $\displaystyle 2 \cdot 6 = 12$ το μόνο που μπορούμε να κάνουμε είναι να επιβεβαιώσουμε ότι είναι σωστή. Η ισότητα $\displaystyle 2 \cdot x = 12$ δεν είναι η ίδια: εδώ ψάχνουμε ποιος αριθμός είναι ο $\displaystyle x$.

Εξίσωση με έναν άγνωστο είναι μία ισότητα που περιέχει αριθμούς και ένα γράμμα, τον άγνωστο.

Για παράδειγμα, $\displaystyle x + 5 = 12$, $\displaystyle \;y - 2 = 3$, $\displaystyle \;10 - z = 1$, $\displaystyle \;\omega : 5 = 4$ και $\displaystyle 24 : \psi = 6$ είναι εξισώσεις. Τον άγνωστο τον συμβολίζουμε με ένα γράμμα, π.χ. $\displaystyle x$, $\displaystyle y$, $\displaystyle z$, $\displaystyle \omega$, $\displaystyle \varphi$, $\displaystyle \psi$.

Μια εξίσωση μοιάζει με μια ζυγαριά σε ισορροπία: τα δύο μέρη της ισότητας «ζυγίζουν» το ίδιο.

Λύση ή ρίζα της εξίσωσης

Λύση ή ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός που, όταν αντικαταστήσει τον άγνωστο, επαληθεύει την ισότητα.

Λύση της εξίσωσης $\displaystyle x - 7 = 5$ είναι ο αριθμός $\displaystyle 12$, διότι $\displaystyle 12 - 7 = 5$. Τη λύση τη γράφουμε: $\displaystyle x = 12$.

Για να ελέγξουμε αν ένας αριθμός είναι λύση, τον βάζουμε στη θέση του αγνώστου και κάνουμε τις πράξεις. Αυτό λέγεται επαλήθευση. Ο $\displaystyle 10$ δεν είναι λύση της $\displaystyle x - 7 = 5$, γιατί $\displaystyle 10 - 7 = 3$, όχι $\displaystyle 5$.

Η διαδικασία με την οποία βρίσκουμε τη λύση λέγεται επίλυση της εξίσωσης.