Προβλήματα με ποσοστά

Έκπτωση

Στις εκπτώσεις, η έκπτωση είναι ένα ποσοστό της τιμής και αφαιρείται από αυτήν:

Τιμή μετά την έκπτωση $\displaystyle =$ Τιμή πριν την έκπτωση $\displaystyle -$ Ποσό έκπτωσης

Ένα πουκάμισο των $\displaystyle 58$ € με έκπτωση $\displaystyle 35\%$: η έκπτωση είναι $\displaystyle \frac{35}{100} \cdot 58 = 20{,}30$ €, άρα πληρώνουμε $\displaystyle 58 - 20{,}30 = 37{,}70$ €.

Πιο γρήγορα: με έκπτωση $\displaystyle 35\%$ πληρώνουμε το $\displaystyle 100\% - 35\% = 65\%$ της τιμής, $\displaystyle 0{,}65 \cdot 58 = 37{,}70$ €.

Φόρος Προστιθέμενης Αξίας (ΦΠΑ)

Ο ΦΠΑ είναι ένας φόρος που προστίθεται στην αξία ενός προϊόντος ή μιας εργασίας. Στα περισσότερα προϊόντα είναι $\displaystyle 24\%$ (στα τρόφιμα $\displaystyle 13\%$, στα βιβλία $\displaystyle 6\%$).

Τιμή πώλησης $\displaystyle =$ Αξία $\displaystyle +$ ΦΠΑ

Ένα πουλόβερ αξίας $\displaystyle 150$ €: ΦΠΑ $\displaystyle \frac{24}{100} \cdot 150 = 36$ €, άρα τιμή πώλησης $\displaystyle 150 + 36 = 186$ €. Ή με μία πράξη: $\displaystyle 1{,}24 \cdot 150 = 186$ €.

Ο ΦΠΑ μέσα στην τιμή

Συχνά ξέρουμε την τιμή μαζί με τον ΦΠΑ. Για αξία $\displaystyle 100$ € ο πελάτης πληρώνει $\displaystyle 124$ €, από τα οποία τα $\displaystyle 24$ € είναι ΦΠΑ. Άρα σε κάθε $\displaystyle 124$ € τα $\displaystyle 24$ € είναι ΦΠΑ.

Ένας ηλεκτρολόγος με έσοδα $\displaystyle 3.720$ €: $\displaystyle 3.720 : 124 = 30$, άρα ο ΦΠΑ είναι $\displaystyle 30 \cdot 24 = 720$ € και η αξία των εργασιών $\displaystyle 30 \cdot 100 = 3.000$ €.

Προσοχή: ο ΦΠΑ δεν είναι το $\displaystyle 24\%$ των $\displaystyle 3.720$ €! Το $\displaystyle 24\%$ υπολογίζεται στην αξία χωρίς ΦΠΑ.

Αύξηση και μείωση

Μετά από αύξηση $\displaystyle \alpha\%$ μια τιμή γίνεται το $\displaystyle (100 + \alpha)\%$ της αρχικής, και μετά από μείωση $\displaystyle \alpha\%$ γίνεται το $\displaystyle (100 - \alpha)\%$:

αύξηση $\displaystyle 20\%$: $\displaystyle \;\cdot 1{,}20$ $\displaystyle \qquad$ μείωση $\displaystyle 20\%$: $\displaystyle \;\cdot 0{,}80$

Για να βρούμε πόσο τοις εκατό άλλαξε μια τιμή, διαιρούμε την αλλαγή με την αρχική τιμή: από $\displaystyle 80$ € σε $\displaystyle 92$ € η αύξηση είναι $\displaystyle 12$ € και $\displaystyle \frac{12}{80} = \frac{15}{100} = 15\%$.

Προσοχή: αύξηση $\displaystyle 10\%$ και μετά μείωση $\displaystyle 10\%$ δεν μας γυρίζει στην αρχική τιμή: $\displaystyle 100 \to 110 \to 99$, γιατί η μείωση υπολογίζεται στα $\displaystyle 110$.

Τόκος

Όταν καταθέτουμε ένα κεφάλαιο στην τράπεζα, μετά από ένα έτος παίρνουμε τόκο, ένα ποσοστό του κεφαλαίου που λέγεται επιτόκιο:

Τόκος $\displaystyle =$ Κεφάλαιο $\displaystyle \cdot$ Επιτόκιο

$\displaystyle 2.000$ € με επιτόκιο $\displaystyle 3\%$ δίνουν σε ένα έτος τόκο $\displaystyle 2.000 \cdot 0{,}03 = 60$ €. Σε $\displaystyle 6$ μήνες, δηλαδή μισό έτος, δίνουν τα μισά: $\displaystyle 30$ €.

Αν ο τόκος προστεθεί στο κεφάλαιο (κεφαλοποίηση), τον επόμενο χρόνο ο τόκος υπολογίζεται στο νέο, μεγαλύτερο κεφάλαιο.