Παραστάσεις & προβλήματα

Η σειρά των πράξεων

Με τα κλάσματα κάνουμε τις πράξεις με την ίδια σειρά όπως και με τους φυσικούς αριθμούς:

1. Πρώτα ό,τι είναι μέσα σε παρενθέσεις.

2. Μετά οι πολλαπλασιασμοί και οι διαιρέσεις, από αριστερά προς τα δεξιά.

3. Τέλος οι προσθέσεις και οι αφαιρέσεις, από αριστερά προς τα δεξιά.

Π.χ. $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$: πρώτα ο πολλαπλασιασμός!

Οι παρενθέσεις αλλάζουν τη σειρά

Αν βάλουμε παρένθεση, η πρόσθεση γίνεται πρώτη και το αποτέλεσμα αλλάζει:

$\displaystyle \left(\frac{1}{2} + \frac{2}{3}\right) \cdot \frac{3}{4} = \frac{7}{6} \cdot \frac{3}{4} = \frac{7}{8}$

Σύγκρινε με το $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = 1$ χωρίς παρένθεση.

Μεικτοί στον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση

Στον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση γράφουμε πρώτα τους μεικτούς ως κλάσματα:

$\displaystyle 2\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{20}{10} = 2$

Λάθος: $\displaystyle 2\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = 2\frac{4}{10}$. Ο μεικτός είναι $\displaystyle 2 + \frac{1}{2}$ και πολλαπλασιάζεται ολόκληρος.

«Από το υπόλοιπο»

Στα προβλήματα πρόσεχε από ποιο όλο παίρνουμε κάθε κλάσμα.

Η Ελένη είχε $\displaystyle 120$ €. Ξόδεψε το $\displaystyle \frac{1}{3}$ και μετά το $\displaystyle \frac{1}{4}$ από όσα της έμειναν.

Ξόδεψε $\displaystyle \frac{1}{3} \cdot 120 = 40$ €, άρα έμειναν $\displaystyle 80$ €. Μετά ξόδεψε $\displaystyle \frac{1}{4} \cdot 80 = 20$ €. Στο τέλος έμειναν $\displaystyle 60$ €.

(Όχι $\displaystyle \frac{1}{4} \cdot 120 = 30$ €: το $\displaystyle \frac{1}{4}$ είναι από τα $\displaystyle 80$ €!)

Από το μέρος στο όλο

Αν ξέρουμε πόσο είναι ένα μέρος, βρίσκουμε το όλο με διαίρεση:

Τα $\displaystyle \frac{2}{5}$ ενός ποσού είναι $\displaystyle 30$ €, άρα όλο το ποσό είναι $\displaystyle 30 : \frac{2}{5} = 30 \cdot \frac{5}{2} = 75$ €.

Μετά βρίσκουμε όποιο άλλο μέρος θέλουμε: τα $\displaystyle \frac{3}{5}$ του είναι $\displaystyle \frac{3}{5} \cdot 75 = 45$ €.

Πώς λύνω ένα πρόβλημα

1. Διαβάζω προσεκτικά και γράφω τι ξέρω και τι ψάχνω.

2. Για κάθε κλάσμα ρωτάω: «τα ... τίνος;» (όλου, του υπολοίπου, του νερού...).

3. Αποφασίζω ποια πράξη χρειάζεται: «τα ... του» → πολλαπλασιασμός, «πόσες φορές χωράει» ή «μοιράζω» → διαίρεση, «τι έμεινε» → αφαίρεση από το $\displaystyle 1$ ή από το όλο.

4. Ελέγχω αν η απάντηση είναι λογική (π.χ. δεν μπορεί να μείνουν περισσότερα από όσα είχαμε).